Не подразмять ли нам мозги?

[Իշխան]

Юрий,

Скрытый текст:

не могу согласиться с такой трактовкой... я бы даже сказал - с такой логикой. Если утверждение состоит из двух независимых частей, и при этом одна часть истинна, а другая - ложна, то нельзя сказать, что утверждение истинно или ложно - оно частично истинно и частично ложно.

Остаётся лишь возмущаться - подобно тому узнику...

[Till]

Княже, неправы.

Скрытый текст:

Разберём утверждение 8. Оно гласит:

В этой комнате сидит тигр, а комната 9 пуста.

Ложность этого утверждения говорит об истинности утверждения: "неверно, что в этой комнате сидит тигр, а комната 9 пуста." Такое утверждение может быть истинным в самых разных ситуациях (1) В 8-й тигр, а в 9-й кто-то есть; 2) в 8-й нет тигра, а девятая пуста; 3) в 8-й нет тигра, а в 9-й кто-то есть)

Даже в быту комбинацию из лжи и правды мы считаем ложью, не правда ли?

[Իշխան]

Саша,

Скрытый текст:

я бы сказал "Неправда", но тогда я бы согласился с Вашей логикой, и подтвердил, что это - правда.
Мне кажется, обычно в быту такое называется полуправдой...

Юрий,

Скрытый текст:

ещё непонятно, как трактовать союз "или": он тождественен "либо" или же означает "хотя бы одно из соединяемых им утверждений истинно"?

[Арника]

князь Владимир

А я думала, что мне одной это неясно.

Скрытый текст:

ещё непонятно, как трактовать союз "или": он тождественен "либо" или же означает "хотя бы одно из соединяемых им утверждений истинно"?

[Ushwood]

князь Владимир
Обычное логическое "или".

"хотя бы одно из соединяемых им утверждений истинно"

[Իշխան]

Тогда очень интересный получается результат...

Скрытый текст:

Если действовать в рамках этой логики, то получим вот что: если бы царь сказал, что комната 8 пуста, то это ничего не дало бы узнику, поскольку утверждение заведомо ложно; значит, царь сказал, что там кто-то есть, а этот "кто-то" - наверняка тигр (принцесса не может находиться в комнате с "ложной" надписью). Но, раз одна часть надписи гласит, что в комнате тигр, то ложна вторая надпись, то есть комната 9 - не пуста.
С комнатой 9 рассуждения повторяются: там может быть только тигр, а значит, неправда, что "утверждение 6 ложно", иначе говоря, утверждение 6 истинно.
Значит, утверждение 3 ложно, то есть утверждения 5 и 7 не могут быть истинными или ложными одновременно.
Пусть истинным является утверждение 7, тогда получаем, что принцесса не находится в комнате 1. Кроме того, получаем, что ни утверждение 2, ни утверждение 4 не являются истинными; ложность 2 даёт лишь то, что в этой комнате тигр; а вот из ложности 4 следует истинность 1, то есть что принцесса находится в комнате с нечётным номером. Но она не может находиться ни в комнате 1 (показано выше), ни в 3, 5 или 9 (надписи на них - ложны); остаётся только комната 7.
Но рассмотрим вариант, когда утверждение 7 ложно, а 5 - истинно; в этом случае сразу получаем, что принцесса находится в комнате 1, и нам остаётся только поверить остальные надписи на взаимную непротиворечивость.
Надпись на самой комнате 1 истинна (1 - нечётное).
Из истинности 5 следует истинность хотя бы одного из пары "2-4"; 4 явно ложно, так как на комнате 1 должна быть правдивая надпись; значит, надпись 2 истинна, и комната 2 пуста.
Таким образом, принцесса находится в комнате 1 или 7 - это всё, что смог узнать несчастный узник. Значит, ему придётся выбирать между двумя этими дверьми, если он рассчитывает выйти на свободу, либо открывать дверь в заведомо пустую комнату 6, чтобы хотя бы не быть съеденным тигром.
Однако в последнем нет необходимости: на двери 1 в любом случае написана правда, а значит, там нет тигра; на двери 7 же может быть и правда, и ложь. Поэтому лучшим вариантом для узника представляется открыть дверь 1.
Как мы знаем, там оказалась принцесса. Значит, ему повезло.

Если я неправ, то поправьте... но я проверил всё раз 10. Другого решения я не вижу (если в условии нет ошибки).

[Ushwood]

князь Владимир
Решение неправильное.
Ошибка вот где:

Скрытый текст:

"Значит, утверждение 3 ложно, то есть утверждения 5 и 7 не могут быть истинными или ложными одновременно."
Ложность утверждения 3 означает не совсем это.

[Братский Андрей]

Мне очень понравилась Flash-игра "Угадай, кто": проверьте свою эрудицию и зрительную память и её продолжение. По крайней мере, память и внимательность тренирует хорошо.

[Жестянщик]

Вроде никто про принцессу окончательно не сказал...
У меня получается так:

Скрытый текст:

1. Принцесса находится в комнате с нечетным номером. принцесса
2. Эта комната пуста. пуст
3. Либо утверждение 5 истинно, либо утверждение 7 ложно. пуст
4. Утверждение 1 ложно. тигр
5. Утверждение 2 или утверждение 4 истинно. пуст
6. Утверждение 3 ложно. тигр
7. В комнате 1 принцессы нет. тигр
8. В этой комнате сидит тигр, а комната 9 пуста. пуст
9. В этой комнате сидит тигр, а утверждение 6 ложно. пуст

[Ushwood]

Жестянщик
ответ неправильный.


Вот еще любопытная задача.
Существуют ли два таких числа, что их сумма, произведение и частное совпадают?

[Жестянщик]

Типа так

Скрытый текст:

х=0,5 у=-1

[Ushwood]

Жестянщик
ответ правильный

[Ushwood]

Какое наименьшее количество клеток квадрата 5×5 нужно закрасить, чтобы в любом квадрате 3×3, являющемся его частью, было ровно 4 закрашенных? Докажите, что это количество минимально.

[Ushwood]

Подсказка: наименьшее количество клеток

Скрытый текст:

7

Построение с этим числом клеток и доказательство его минимальности оставляю по-прежнему за вами.

[Ushwood]

На острове живут хамелеоны. Хамелеон может быть красным, зеленым и синим. Ученые обнаружили, что когда два хамелеона разных цветов встречаются друг с другом, они оба перекрашиваются в третий цвет.
В какой-то момент (с помощью аэрофотосъемки, не иначе) удалось посчитать всех хамелеонов; оказалось, что красных 13 штук, зеленых 15 и синих 17.
Вопрос: может ли получиться так, что когда-нибудь на острове останутся хамелеоны только одного цвета?

(вероятностью встречи сразу трех хамелеонов пренебречь; изменение общего числа хамелеонов по любым причинам не рассматривать)

[Իշխան]

Нет, потому что для этого нужно, чтобы в какой-то момент совпало количество хамелеонов хотя бы двух разных цветов, а это исключено. Математически строгое доказательство выводить долго и муторно, но скажем так: т.к. суммарное число хамелеонов (45) кратно трём, а видов тоже три, то для возникновения возможности перекрашивания в один цвет нужно, чтобы все три разности в количествах (простите за кривизну слога ) также были кратны трём, и тогда эта кратность будет сохраняться после всех изменений в окраске.

Как-то так...

[Ushwood]

князь Владимир
Примерно так и есть .
Я решил немного в других формулировках, но так же по сути.

При любой перекраске разница между количествами хамелеонов любых двух цветов либо не меняется, либо меняется на 3. Поскольку исходная разница равна 2 и 4, а должна быть 0 и 45 - ясно, что никакими изменениями по три этого не добиться.

ЗЫ. Подкинул эту задачку моим студентам - десяти минут перемены им не хватило. Посмотрим, хватит ли недели...

[Իշխան]

Я ещё придумал "доказательство от противного" - с формулами.

Предположим, что результат достижим - количество хамелеонов одного цвета достигло 45, а двух других, т.о., обратилось в 0. Тогда как бы запустим процесс вспять - пусть теперь при встрече двух хамелеонов одного цвета каждый из них меняет окраску, причём по-разному. Пусть k - число встреч красных хамелеонов (будем считать для определённости, что это их осталось 45), m - зелёных. а n - соответственно синих, тогда после запуска процесса вспять мы будем иметь следующее распределение: красных - 45-2k+m+n, зелёных - k-2m+n, синих - k+m-2n. Тогда разница в числе красных и зелёных будет (45-3k+3m), красных и синих - (45-3k+3n), зелёных и синих - (3n-3m). Очевидно, что все три разности кратны трём, что есть условие того, что возможно получить перекрашивание в один цвет. А, так как исходное распределение этому условию не соответствуют, то и получается ответ "Нет".

Кстати, "обратное преобразование", когда хамелеоны одного цвета приобретают при встрече два других, можно добавить к условию задачи - для большей запутанности. А может, наоборот - как подсказку.

[Ushwood]

Ладно... для разнообразия - задачка из другой области.

Есть карандаш и угольник с углом 20 градусов. С их помощью можно только проводить прямые линии и откладывать угол 20 градусов.
Задача: построить угол 10 градусов.

[Իշխան]

Проводим горизонтальную линию.
Потом проводим ещё 8 линий, проходящих через одну точку так, чтобы углы между соседними линиями были по 20^О (на рисунке я стёр некоторые из них).
Далее проводим пару линий (я сделал это неаккуратно, уж простите) через точки пересечения и получаем ромб.
Проводим вертикальную диагональ, которая отсекает искомый угол.